Le vecteur \(\vec v_0\) est tangent à la courbe \(\gamma:I\to\Bbb R^m\) en \(\gamma(t_0)\) si $$\overrightarrow{\gamma(t_0)\gamma(t)}=\lambda(t)\vec v_0+\lambda(t)\varepsilon(t)$$ avec \(\lambda(t)\in\Bbb R\) et \(\underset{t\to t_0}\lim\varepsilon(t)=0_{\Bbb R^m}\)
La droite passant par \(\gamma(t_0)\) et de vecteur directeur \(\vec v_0\) est appelée la droite tangente à \(\gamma\) en \(\gamma(t_0)\)
Soit \(\gamma:I\to\Bbb R^m\) une courbe paramétrée de classe \(\mathcal C^1\)
Si \(\gamma'(t_0)\neq0\), alors \(\gamma'(t_0)\) est un vecteur tangent à la coube \(\gamma\) en \(\gamma(t_0)\)
(Classe de fonctions)
D'après le développement de Taylor, $$\gamma(t)=\gamma(t_0)+(t-t_0)\gamma'(t_0)+(t-t_0)\varepsilon(t)$$ avec \(\varepsilon(t)\underset{t\to t_0}\longrightarrow0\)
(Formule de Taylor - Formule de Taylor-Young)
Soient \(\vec\tau\) le vecteur directeur de la tangente en \(M_0\) et \(\vec n=(a,b)\) le vecteur normal à \(\gamma(t)\)
Alors la droite tangente à \(\gamma(t)\) en \((x_0,y_0)\) a pour équation : $$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$$
(Droite, Vecteur normal)
//Représentation cartésienne
La droite passant par \(P(x,f(x))\) et \(Q(x_0,f(x_0))\) a pour coefficient directeur $${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$$
(Taux d’accroissement)
Le développement limité à l'ordre \(1\) correspond à la formule de la tangente à la courbe en \(a\) : $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
Propriété :
L'équation de la tangente à la ligne de niveau passant par \((x_0,y_0)\) est : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)=0$$
(Dérivée partielle)
L'équation de la tangente à la surface \(z=f(x,y)\) en \((x_0,y_0,z_0)\) est : $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)=z-z_0$$
Équation paramétrique de la tangente à la courbe \(\gamma\) au point \(\gamma(t_0)\) :
$$T(t)={{\gamma(t_0)+t\gamma^\prime(t_0)}}$$
(Courbe - Courbe paramétrée, //Courbe régulière)
La tangente à la courbe de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est horizontale si \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\)
La tangente à la courbe de \(f\) en \((x_0,y_0)\) est verticale si \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0\)
(Dérivée partielle)